高一数学期末考试基础题大练兵，三角函数互求绝招，一次通关必备

以下是关于高一数学三角函数互求的一些绝招和基础题要点：

同角三角函数的基本关系
平方关系
   $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，这个关系可以用于已知一个角的正弦值求余弦值，或者反之。
   例如，已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第一象限角，根据$\cos\alpha=\pm\sqrt{1 \sin^{2}\alpha}$，因为$\alpha$在第一象限，所以$\cos\alpha=\sqrt{(\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}$。
商数关系
   $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，它可以实现正弦、余弦与正切之间的互化。
   比如，已知$\cos\alpha \frac{4}{5}$，$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，则$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{3}{4}$。

诱导公式
公式总结
   对于形如$\sin(k\cdot90^{\circ}\pm\alpha)$和$\cos(k\cdot90^{\circ}\pm\alpha)$（$k\in Z$）的诱导公式，可以用“奇变偶不变，符号看象限”来记忆。
   “奇变偶不变”：当$k$为奇数时，函数名改变（正弦变余弦，余弦变正弦等）；当$k$为偶数时，函数名不变。
   “符号看象限”：将$\alpha$看成锐角，看原函数在$k\cdot90^{\circ}\pm\alpha$所在象限的符号。
应用示例
   计算$\sin(180^{\circ}+\alpha)$，这里$k = 2$（偶数），函数名不变，把$\alpha$看成锐角，$180^{\circ}+\alpha$在第三象限，正弦在第三象限为负，所以$\sin(180^{\circ}+\alpha)\sin\alpha$。

基础题类型及解法
求值题
   已知一个三角函数值求其他三角函数值
     例：已知$\tan\alpha = 2$，求$\sin\alpha$和$\cos\alpha$。
     解：由$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2$，即$\sin\alpha = 2\cos\alpha$。又因为$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，将$\sin\alpha = 2\cos\alpha$代入可得：$(2\cos\alpha)^{2}+\cos^{2}\alpha=1$，$4\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，$5\cos^{2}\alpha=1$，$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$。当$\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$时，$\sin\alpha = 2\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；当$\cos\alpha\frac{\sqrt{5}}{5}$时，$\sin\alpha\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
   利用诱导公式求值
     例：计算$\cos150^{\circ})$。
     解：根据诱导公式$\cos\alpha)=\cos\alpha$，所以$\cos150^{\circ})=\cos150^{\circ}$。又因为$\cos150^{\circ}=\cos(180^{\circ} 30^{\circ})\cos30^{\circ}\frac{\sqrt{3}}{2}$。
化简题
   化简$\frac{\sin(\p\alpha)\cos(\pi+\alpha)}{\tan\alpha)\cos(\frac{3\pi}{2\alpha)}$。
   解：根据诱导公式，$\sin(\p\alpha)=\sin\alpha$，$\cos(\pi+\alpha)\cos\alpha$，$\tan\alpha)\tan\alpha$，$\cos(\frac{3\pi}{2\alpha)\sin\alpha$。
   原式$=\frac{\sin\alpha\cos\alpha)}{\tan\alpha)\sin\alpha)}=\frac\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha}\cos^{2}\alpha$。

证明题
   证明$\frac{\sin\alpha}{1 \cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$。
   证明：要证$\frac{\sin\alpha}{1 \cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$，只需证$\sin^{2}\alpha=(1 \cos\alpha)(1+\cos\alpha)$。
   根据平方差公式$(1 \cos\alpha)(1+\cos\alpha)=\cos^{2}\alpha$，又因为$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，即$\sin^{2}\alpha=\cos^{2}\alpha$，所以等式成立。